HOOK · 시작 질문
$\times$과 $\div$가 섞이면 ?
A subtle trap — when × and ÷ appear together, order matters.
A LITTLE TRAP
$4x^3 \times 6x^2 \div 8x$를 계산해 보세요. 그런데 — 어떻게 순서대로?
함정 ① 곱셈 먼저, 나눗셈 나중 이라고 외운다? — 그렇게 하면 결과는 같지만, 이는 일반화된 규칙이 아닙니다. 곱셈과 나눗셈은 같은 우선순위 이기 때문입니다.
올바른 규칙은 단 하나 — 왼쪽에서 오른쪽으로 차례대로 . 또는 모든 나눗셈을 역수의 곱셈 으로 바꿔서 한 번에 처리.
즉 $4x^3 \times 6x^2 \div 8x = 24x^5 \div 8x = \mathbf{3x^4}$. 또는 $4x^3 \times 6x^2 \times \dfrac{1}{8x} = \dfrac{24x^5}{8x} = \mathbf{3x^4}$. 같은 답.
이 차시는 단항식 계산의 종합 연습 입니다. 지수법칙(1.1) + 곱셈(1.2) + 나눗셈(1.3)을 모두 사용하여 복잡한 식을 한 줄로 정리해 봅니다. 마지막에는 도형의 활용 문제 도 풀어봅니다.
CORE · 계산 순서
혼합 계산 4단계
A simple algorithm — follow these steps and you'll never get lost.
ALGORITHM
혼합 계산의 4단계
1
거듭제곱 풀기
괄호 안의 거듭제곱이 있으면 법칙 Ⅳ 로 먼저 분배한다. 예: $(2x^3)^2 = 4x^6$.
2
부호 결정
전체 식의 부호를 따로 정리하면 실수가 줄어든다. 음수의 개수가 짝수 면 $+$, 홀수 면 $-$.
3
계수 계산
계수만 모아서 왼쪽에서 오른쪽 순서로 곱셈·나눗셈을 진행한다.
4
문자 정리
같은 문자별로 지수를 곱셈 → 합, 나눗셈 → 차 로 처리. 결과를 합친다.
⚠️ COMMON TRAP
$\times$과 $\div$의 우선순위 는 동등하다
✗ 잘못된 사고
"곱셈을 먼저 모두 끝낸 다음 나눗셈을 한다"
✓ 올바른 사고
"$\times$과 $\div$는 같은 우선순위. 왼쪽부터 차례대로 "
예: $a \div b \times c$는 $\dfrac{a}{b} \times c = \dfrac{ac}{b}$이지, $\dfrac{a}{bc}$가 아닙니다. 헷갈리면 모든 나눗셈을 역수의 곱셈으로 변환 하세요.
WORKED DEMO · 시연
단계별 시연
Watch the algorithm unfold on a real problem.
시연 ① · $4x^3 \times 6x^2 \div 8x$
$4x^3 \times 6x^2 \div 8x$
STEP 1 거듭제곱 없음 → 건너뜀.
STEP 2 부호: 모두 양수 → + .
STEP 3 계수: $4 \times 6 \div 8 = 24 \div 8 = \mathbf{3}$.
STEP 4 문자: $x^3 \cdot x^2 \div x = x^{3+2-1} = \mathbf{x^4}$.
▶ $4x^3 \times 6x^2 \div 8x = 3x^4$
시연 ② · $(2x)^3 \div x^2 \times 5x$
$(2x)^3 \div x^2 \times 5x$
STEP 1 거듭제곱: $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
STEP 2 식이 $8x^3 \div x^2 \times 5x$가 됨. 부호 +.
STEP 3 계수: $8 \div 1 \times 5 = 8 \times 5 = \mathbf{40}$.
STEP 4 문자: $x^3 \div x^2 \times x = x^{3-2+1} = \mathbf{x^2}$.
▶ $(2x)^3 \div x^2 \times 5x = 40x^2$
QUICK CHECK · 빠른 확인
바로 확인 하기
5 quick warm-ups — click each card to reveal the answer.
QC-01 · 기본 혼합
$2a^2 \times 6a \div 3a = ?$
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계수: $2 \times 6 \div 3 = 4$. 문자: $a^{2+1-1} = a^2$. ▶ $\mathbf{4a^2}$.
QC-02 · 나눗셈 먼저
$8a^3 \div 2a \times 3a^2 = ?$
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왼쪽부터: $8a^3 \div 2a = 4a^2$. 그다음 $4a^2 \times 3a^2 = \mathbf{12a^4}$.
QC-03 · 음수 부호
$(-4x^2) \times 3x \div 6x = ?$
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부호: $-$ (음수 1개). 계수: $4 \times 3 \div 6 = 2$. 문자: $x^{2+1-1} = x^2$. ▶ $\mathbf{-2x^2}$.
QC-04 · 거듭제곱
$(2x^2)^3 \div 4x^4 = ?$
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$(2x^2)^3 = 8x^6$. $8x^6 \div 4x^4 = 2x^2$. ▶ $\mathbf{2x^2}$.
QC-05 · 두 문자
$5a^2 b \times 4ab^3 \div 2ab = ?$
▼ 클릭하여 답 보기
계수: $5 \times 4 \div 2 = 10$. $a$: $a^{2+1-1}=a^2$. $b$: $b^{1+3-1}=b^3$. ▶ $\mathbf{10a^2 b^3}$.
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples — one mixed, one applied to geometry.
EXAMPLE 01
거듭제곱과 혼합 계산
다음 식을 간단히 하시오: $\quad 12x^3 y \times (2y)^2 \div 4xy$
1
거듭제곱 : $(2y)^2 = 4y^2$. 식은 $12x^3 y \times 4y^2 \div 4xy$로 변환.
2
계수 : $12 \times 4 \div 4 = 48 \div 4 = 12$.
3
$x$ : $x^3 \div x = x^{3-1} = x^2$.
4
$y$ : $y \cdot y^2 \div y = y^{1+2-1} = y^2$.
▶ 답: $12x^2 y^2$
EXAMPLE 02
활용 · 삼각형의 높이
삼각형의 넓이가 $15a^3 b^2$이고 밑변의 길이가 $6a b$일 때, 높이 를 구하시오. (삼각형의 넓이 = $\dfrac{1}{2}$ × 밑변 × 높이)
1
공식 변형: 높이 = $\dfrac{2 \times \text{넓이}}{\text{밑변}} = 2 \times 15a^3 b^2 \div 6ab$.
2
계수 : $2 \times 15 \div 6 = 30 \div 6 = 5$.
3
$a$ : $a^3 \div a = a^2$. $b$ : $b^2 \div b = b$.
▶ 답: 높이 = $5a^2 b$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems graded by difficulty.
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$3a^2 \times 4a \div 2a$를 간단히 하시오. (답 형식: 6a^2 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $3 \times 4 \div 2 = 6$. 문자: $a^{2+1-1} = a^2$. ▶ $\mathbf{6a^2}$.
$8x^5 \div 4x^2 \times 3x$를 간단히 하시오. (답 형식: 6x^4 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $8 \div 4 \times 3 = 6$. 문자: $x^{5-2+1} = x^4$. ▶ $\mathbf{6x^4}$.
$2a^2 b \times 6ab^3 \div 3a b^2$를 간단히 하시오. (답 형식: 4a^2b^2 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $2 \times 6 \div 3 = 4$. $a$: $a^{2+1-1}=a^2$. $b$: $b^{1+3-2}=b^2$. ▶ $\mathbf{4a^2 b^2}$.
$(3a^2)^2 \div 9a \times 2a^3$을 간단히 하시오. (답 형식: 2a^6 )
확인 풀이
SOLUTION
$(3a^2)^2 = 9a^4$. 식은 $9a^4 \div 9a \times 2a^3$. 계수: $9 \div 9 \times 2 = 2$. 문자: $a^{4-1+3} = a^6$. ▶ $\mathbf{2a^6}$.
$(-2x^2)^3 \times 3x \div 4x^4$를 간단히 하시오. (답 형식: -6x^3 )
확인 풀이
SOLUTION
$(-2x^2)^3 = -8x^6$. 식은 $-8x^6 \times 3x \div 4x^4$. 계수: $-8 \times 3 \div 4 = -6$. 문자: $x^{6+1-4} = x^3$. ▶ $\mathbf{-6x^3}$.
$6a^4 b^2 \times 4ab \div 8a^2 b$를 간단히 하시오. (답 형식: 3a^3b^2 )
확인 풀이
SOLUTION
계수: $6 \times 4 \div 8 = 3$. $a$: $a^{4+1-2}=a^3$. $b$: $b^{2+1-1}=b^2$. ▶ $\mathbf{3a^3 b^2}$.
밑면이 한 변 $3a$인 정사각형이고 부피가 $54a^4 b$인 직육면체의 높이 는? (부피 = 밑넓이 × 높이; 답 형식: 6a^2b )
확인 풀이
SOLUTION
밑넓이 = $(3a)^2 = 9a^2$.
높이 = 부피 ÷ 밑넓이 = $54a^4 b \div 9a^2$.
계수: $54 \div 9 = 6$. $a$: $a^{4-2} = a^2$. $b$는 그대로.
▶ $\mathbf{6a^2 b}$.
$\square \times 3a^2 \div 2a = 6a^4$일 때, 빈칸은? (답 형식: 4a^3 )
확인 풀이
SOLUTION
빈칸 = $6a^4 \div 3a^2 \times 2a$ (양변 정리).
계수: $6 \div 3 \times 2 = 4$. 문자: $a^{4-2+1} = a^3$.
▶ $\mathbf{4a^3}$.
검산: $4a^3 \times 3a^2 \div 2a = 12a^5 \div 2a = 6a^4$ ✓